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Die Hesse-Matrix  



Mit Hilfe der Hesse-Matrix können wir die Krümmung von differenzierbaren Funktionen bestimmen (vgl.).

 

DEFINITION (HESSE-MATRIX)
Die Matrix (vgl.)

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}) =
 \pmatrix{ f_{x_1,...
 ...fbf{x}) & f_{x_n,x_2}(\mathsfbf{x}) &
 \ldots & f_{x_n,x_n}(\mathsfbf{x}) } $}}$


heißt die  Hesse-Matrix von $f$ an der Stelle $\mathsfbf{x}$.



Eine Funktion $f(\mathsfbf{x})$ ist genau dann konvex in $D$, wenn $D\subset{\mathbb R}^n$ konvex ist und die die Hesse-Matrix positiv semidefinit ist für alle $\mathsfbf{x}\in D$.

Die Funktion ist genau dann konkav in $D$, wenn $D\subset{\mathbb R}^n$ konvex ist und die Hesse-Matrix negativ semidefinit ist für alle $\mathsfbf{x}\in D$.



Vorgangsweise:

(1)
Ist $D$ konvex?


(2)
Berechne die Hesse-Matrix $\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x})$.


(3)
Berechne die allgemeinen Hauptminoren $\vert\tilde\mathsfbf{H}_k\vert$ von  $\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x})$.


(4)




Jede positiv definite Matrix ist auch positiv semidefinit. In diesem Fall kann die Definitheit auch mit Hilfe der Hauptminoren $\vert\mathsfbf{H}_k\vert$ gezeigt werden (Vorgangsweise).



BEISPIEL
Ist die Funktion konkav oder konvex?

\begin{displaymath}
f(x,y) = x^4 + x^2 -2\,x\,y + y^2
 \quad\mbox{ in }D={\mathbb R}^2
 \end{displaymath}


(1) Der ${\mathbb R}^2$ ist konvex.

(2) Die Hesse-Matrix lautet

\begin{displaymath}
\begin{array}
{ll}
 f_x(\mathsfbf{x}) = 4 x^3 + 2\,x -2\,y\q...
 ...yx}(\mathsfbf{x}) = -2 & f_{yy}(\mathsfbf{x}) = 2
 \end{array} \end{displaymath}

\begin{displaymath}
\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}) =
 \pmatrix{12\,x^2 + 2 & -2 \cr -2 & 2 }
 \end{displaymath}

(3) Die allgemeinen Hauptminoren der Hesse-Matrix sind

$\vert\tilde\mathsfbf{H}_1\vert = 12\,x^2 + 2 \geq 0\quad$ bzw. $\quad =2\geq 0$
$\vert\tilde\mathsfbf{H}_2\vert = \det(\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x})) = 24\,x^2 \geq 0$

(4) Alle Hauptminoren $\geq 0$ für alle $\mathsfbf{x}\in D$

$\quad\Rightarrow\quad f$ ist konvex in $D$.


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung