previous up next contents index
previous: Die Regel von Sarrus up: Berechnung der Determinante next: Umformen in Dreiecksmatrix

Der Laplace'sche Entwicklungssatz  


Determinanten von $(n\!\times\!n)$-Matrizen lassen sich durch den  Laplace'schen Entwicklungssatz rekursiv berechnen.


Entwicklung nach der $k$-ten Spalte bzw. $i$-ten Zeile:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \det(\mathsfbf{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ik} \cdot (-...
 ...{ik}\vert=
 \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot (-1)^{i+k} \vert\mathsfbf{S}_{ik}\vert$}}$


$\mathsfbf{S}_{ik}$ ist die $((n-1)\!\times\!(n-1))$-Matrix, die man erhält, wenn die $i$-te Zeile und $k$-te Spalte gestrichen wird ( ,,Streichungsmatrix``).


Es ist dabei völlig egal, nach welcher Zeile oder Spalte entwickelt wird.



BEISPIEL
Wir berechnen die Determinante von    $\pmatrix{ 1 & 2 & 3\cr 4 & 5 & 6\cr 7 & 8 & 9 }$


Entwicklung nach der ersten Zeile:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
\setlength {\fboxsep}{2mm}
 
 \begin{arr...
 ... (-3) - 2\cdot (-6) + 3\cdot (-3)\\ [1ex]
 & = & 0
 \end{array}\end{displaymath}

Wir können aber auch nach der zweiten Spalte entwickeln:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
\setlength {\fboxsep}{2mm}
 
 \begin{arr...
 ...(-6) + 5\cdot (-12) -8 \cdot (-6)\\ [1ex]
 & = & 0
 \end{array}\end{displaymath}



Wir wählen stets stets eine Zeile oder Spalte, die möglichst viele Nullen enthält.

BEISPIEL

$
 \begin{array}
{\vert c\vert}
\setlength {\fboxsep}{2mm}
 
 \mbox{1\hspace{1ex...
 ...cc\vert}
 1 & 2 & 3 \\  4 & 5 & 6 \\  7 & 8 & 9 \\  \end{array}= 6 \cdot 0 = 0 $


previous up next contents index

© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung