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Was ist ein Vektorraum  

In unserem Leontief-Modell haben wir jeder Produktion $\mathsfbf{x}$ einen internen Verbrauch $\mathsfbf{y}$ durch

$$\mathsfbf{x}\mapsto \mathsfbf{y} = \mathsfbf{V}\cdot\mathsfbf{x}$$

zugeordnet. Wir können das auch als Abbildung auffassen. Die Definitions- und Wertemenge sind dann die Menge aller Vektoren mit 3 Komponenten.

Die Menge aller Vektoren $\mathsfbf{x}$ mit $n$ Komponenten bezeichnen wir mit

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle {\mathbb R}^n = \left\{ \left(\begin{array} {c}x_... ...\ x_n\end{array}\right) \colon x_i\in{\mathbb R},\, 1\leq i\leq n \right\}$}}$

und wird als  $n$-dimensionaler (reeller)Vektorraum bezeichnet

DEFINITION (VEKTORRAUM)
Ein  Vektorraum $\mathcal V$ ist eine Menge, deren Elemente sich addieren und skalarmultiplizieren lassen, wobei die Summe von Vektoren und das Vielfache eines Vektors wieder Elemente der Menge sind. Die Elemente so eines Vektorraumes sind (heißen) Vektoren.

BEISPIEL

Nach dieser Definition ist die Menge aller $2\!\times\!2$-Matrizen $\left\{ \left. \pmatrix{a_{11} & a_{12} \cr a_{21} & a_{22} } \right\vert\, a_{ij}\in{\mathbb R} \right\}$ ein Vektorraum.

BEISPIEL

Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 2,

$$\{ a_0 + a_1\,x + a_2\,x^2 \vert\, a_i \in{\mathbb R}\},$$

ist ein Vektorraum.