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Matrixgleichungen  



Für geeignet dimensionierte Matrizen gelten ähnliche Rechengesetze wie für reelle Zahlen (vgl. und).


Die Nullmatrix $\mathsfbf{0}$ spielt dabei die Rolle der Zahl 0, die Einheitsmatrix $\mathsfbf{I}$ die Rolle der Zahl 1.


Achtung! Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!

\begin{displaymath}
\mathsfbf{A}\cdot \mathsfbf{B} \not= \mathsfbf{B}\cdot \mathsfbf{A}\end{displaymath}



BEISPIEL
$(\mathsfbf{A} + \mathsfbf{B})^2 = \mathsfbf{A}^2 +
 \mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B} + \mathsfbf{B}\cdot\mathsfbf{A} +
 \mathsfbf{B}^2$


$\mathsfbf{A}^{-1}\cdot (\mathsfbf{A}+\mathsfbf{B}) \cdot
 \mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}$
$=(\mathsfbf{A}^{-1}\cdot\mathsfbf{A}+\mathsfbf{A}^{-1}\mathsfbf{B}) \cdot
 \mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}$
$=(\mathsfbf{I}+\mathsfbf{A}^{-1}\mathsfbf{B}) \cdot
 \mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}=$
$=(\mathsfbf{B}^{-1}+\mathsfbf{A}^{-1}\cdot
 \mathsfbf{B}\,\mathsfbf{B}^{-1})\mathsfbf{x}$
$=(\mathsfbf{B}^{-1}+\mathsfbf{A}^{-1})\mathsfbf{x}$
$=\mathsfbf{B}^{-1}\,\mathsfbf{x}+\mathsfbf{A}^{-1}\,\mathsfbf{x}$



Wird eine Matrixgleichung mit einer Matrix multipliziert, so muß dies auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens von derselben Seite (entweder ,,von links`` oder ,,von rechts``) erfolgen!

BEISPIEL
Sei $\mathsfbf{B} + \mathsfbf{A}\,\mathsfbf{X} = 2\mathsfbf{A}$, wobei $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{B}$ bekannte reguläre Matrizen sind. Wie lautet $\mathsfbf{X}$?

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcll}
 \mathsfbf{B} + \mathsfbf{A}\,\mathsfbf...
 ...sfbf{I} - \mathsfbf{A}^{-1}\cdot\mathsfbf{B} & \\  \end{array} \end{displaymath}

In dieser Gleichung ist natürlich darauf zu achten, daß die Matrizenoperationen tatsächlich definiert sind.


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung