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Die Gaußsche Zahlenebene



  Jeder komplexer Zahl $z=a+b\,i$ wird ein Punkt $(a,b)$ in der Ebene zugordnet.  

\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{0.2cm}
 
\begin{picture}
(55,55)
 
\thin...
 ...66,7.59)(14.40,8.42)(14.06,9.23)(13.66,10)(13.04,10.95)\end{picture}\end{figure}



$z=+b\,i$ kann auch durch den Abstand $r$dieses Punktes vom Ursprung und dem Winkel $\theta$festgelegt werden.


$(a,b)$ $\ldots$  kartesische Koordinaten,
$(r,\theta)$ $\ldots$   Polarkoordinaten
der komplexen Zahl $z$.


Es gilt

\begin{displaymath}
\cos\theta = \frac{a}{r}
\qquad\mbox{und}\qquad
\sin\theta = \frac{b}{r}\end{displaymath}

und somit
$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle z = a + b\,i = r(\cos\theta + i\,\sin\theta)$}}$




Der Abstand $r$ vom Ursprung heißt der  Absolutbetrag von $z$ und wird mit $\vert z\vert$ bezeichnet.

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \vert z\vert = r = \sqrt{a^2+b^2}$}}$



Multiplikation und Division ist in dieser Darstellung:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 z_1\cdot z_2 & = &
 r_1\cdot r_2 (\cos(...
 ...os(\theta_1-\theta_2) +
 i\,\sin(\theta_1-\theta_2))\end{array}\end{displaymath}




Potenzen durch die   Formel von de Moivre:


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle z^n = r^n(\cos\,n\theta + i\,\sin\,n\theta)$}}$





Es gilt folgende wichtige Relation: (  Eulersche Formel)


$\mbox{\ovalbox{$\begin{Beqnarray*}
e^{ix} &=& \cos x + i \sin x\\  e^{-ix} & = & \cos x - i \sin x\end{Beqnarray*}$}}$


(Beweis durch Einsetzen in Taylorreihe)




Außerdem

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle z = a+b\,i = \vert z\vert\,e^{i\theta}$}}$


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung