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Inhomogene lineare Differenzengleichungen  

$\bullet\quad$$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_{t+2}+a_1\,y_{t+1}+a_2\,y_t = s$}}$

Die allgemeine Lösung läßt sich darstellen als

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y_t = y_{h,t} + y_{p,t}$}}$

wobei

$y_{h,t}$ ... allgemeine Lösung der homogenen Glg. ($s=0$)
$y_{p,t}$ ... partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung

konstante Lösung: $y_{p,t}=c$

$$c + a_1\,c + a_2\,c = s$$

$$\quad\Rightarrow\quad y_{p,t} = c = \frac{s}{1+a_1+a_2} \quad\mbox{falls $a_1+a_2\not= -1$}$$

Falls $a_1+a_2=-1$ versuchen wir $y_{p,t}=c\,t$:

$$c\,(t+2) + a_1\,c\,(t+1) + a_2\,c\,t = s$$

$$\quad\Rightarrow\quad c = \frac{s}{(1+a_1+a_2)t+a_1+2} = \frac{s}{a_1+2}$$

$$\quad\Rightarrow\quad y_{p,t}=\frac{s}{a_1+2}\,t$$

$$\qquad\mbox{falls $a_1+a_2=-1$\space und $a_1\not=-2$.}$$

BEISPIEL
Lösung der Differenzgleichung $y_{t+2} + y_{t+1} + y_t = 9$.

Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung (Beispiel):

$$y_{h,t} = (A_1\cos \frac{2\pi}{3}t + A_2\sin\frac{2\pi}{3} t)$$

partikuläre Lösung:

$$y_{p,t} = \frac{9}{1+1+1}=3$$

allgemeine Lösung der Differenzengleichung:

$$y_t = (A_1\cos \frac{2\pi}{3}t + A_2\sin\frac{2\pi}{3} t) + 3$$

BEISPIEL
Lösung der Differenzengleichung

$$y_{t+2} -3\,y_{t+1} + 2\,y_t = 2$$

Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung (Beispiel):

$$y_{h,t} = A_1 + A_2 2^t$$

partikuläre Lösung:

$$y_{p,t} = \frac{2}{-3+2}=-2 \quad\mbox{(da $a_1+a_2=-3+2=-1$)}$$

allgemeine Lösung der Differenzengleichung:

$$y_t = A_1 + A_2 2^t - 2$$