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Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

$\bullet\quad$$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y''(x) + a_1 y'(x) + a_2 y(x) = 0$}}$


Ansatz: $y(x) = C \cdot e^{\lambda x}$


Ableitungen:

\begin{displaymath}
y'(x) = \lambda C e^{\lambda x}
\quad{und}\quad
y''(x) = \lambda^2 C e^{\lambda x}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
C\,e^{\lambda x} (\lambda^2 + a_1 \lambda + a_2) = 0\end{displaymath}


Diese Gleichung wird erfüllt genau dann, wenn


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \lambda^2 + a_1 \lambda + a_2 = 0$}}$


Diese Gleichung heißt  charakteristische Gleichung.


SUNG:

\begin{displaymath}
\lambda_{1,2} = -\frac{a_1}{2} \pm\sqrt{\frac{a_1^2}{4} - a_2}\end{displaymath}



Fall:  $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} -a_2 \gt 0$}}$

$\quad\Rightarrow\quad
\lambda_1\not=\lambda_2$ sind reell (zwei reelle Lösungen).

\begin{displaymath}
y_1(x)=C_1\,e^{\lambda_1 x}
\quad{und}\quad
y_2 (x) = C_2\, e^{\lambda_2 x}\end{displaymath}

sind Lösungen, und damit auch ihre Summe:


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$}}$



BEISPIEL
Lösung von $y'' -3y' + 2y = 0$


Der Ansatz $y(x) = e^{\lambda x}$ führt zur charakteristischen
Gleichung

\begin{displaymath}
\lambda^2 - 3\lambda + 2 =0
 \end{displaymath}

mit den Nullstellen

\begin{displaymath}
\lambda_1 = 1,\, \lambda_2 = 2
 \end{displaymath}

allgemeine Lösung:

\begin{displaymath}
y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}
 \end{displaymath}



Fall:  $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} - a_2 = 0$}}$

$\quad\Rightarrow\quad
\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ ist reell (doppelte Nullstelle)

\begin{displaymath}
y_1(x) = C_1 e^{\lambda x}\end{displaymath}


Zweite Lösung: $y_2(x) = C_2\,x\,e^{\lambda x}$




Zeigen: $y_2(x)$ ist Lösung

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 y_2'(x) & = & (\lambda x + 1)\, C_2 e^{...
 ...& = & (\lambda^2 x + 2 \lambda)\, C_2\,e^{\lambda x}\end{array}\end{displaymath}

Es gilt aber:

$\lambda = - \frac{a_1}{2}$ und $\frac {a_1^2}{4} - a_2 = 0
\quad\Rightarrow\quad
a_2 = \frac {a_1^2}{4}$

Eingesetzt:

$[(\lambda^2 x + 2 \lambda) + a_1 (\lambda x + 1) + a_2 x]
C_2\,e^{\lambda x}
$

$\quad
=[(\frac {a_1^2}{4} x - a_1) + a_1 (-\frac {a_1}{2} x + 1)
+ \frac{a_1^2}{4} x ]C_2\,e^{\lambda x}$

$\quad
=[\frac{a_1^2}{4}x-a_1-\frac{a_1^2}{2}x+a_1+\frac{a_1^2}{4}x]
C_2\,e^{\lambda x} = 0
$



ALLGEMEINESUNG:


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y(x) = C_1\,e^{\lambda x} + C_2\,x\,e^{\lambda x}$}}$



BEISPIEL
Lösung von $y'' - 4y' + 4y = 0$


charakteristische Gleichung:

\begin{displaymath}
\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0
 \quad\Rightarrow\quad
 \lambda_{1,2} = 2
 \end{displaymath}

allgemeine Lösung:

\begin{displaymath}
y(x)=(C_1 + C_2 x) \cdot e^{2x}
 \end{displaymath}



Fall:  $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_1^2}{4} - a_2 < 0$}}$

$\quad\Rightarrow\quad
\lambda_1\not=\lambda_2$ sind komplex

\begin{displaymath}
\begin{array}
{ll}
 \lambda_1 = a + bi & a= -\frac{a_1}{2}\\...
 ... \sqrt{\left\vert \frac{a_1^2}{4} - a_2 \right\vert}\end{array}\end{displaymath}

Lösungen:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 y_1(x) & = & \tilde{C}_1\, e^{(a+bi)} =...
 ...}_2\, e^{(a-bi)x} = \tilde{C}_2\, e^{ax} \, e^{-ibx}\end{array}\end{displaymath}

Reelle Lösungen:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 y(x) & = & y_1 (x) + y_2 (x) \\  &=& \t...
 ...derbrace{(\tilde{C}_1-\tilde{C}_2)i}_{=C_2}\sin(bx)]\end{array}\end{displaymath}

(Eulersche Formel)

ALLGEMEINESUNG:


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle y(x)= e^{ax}\cdot[ C_1 \cos(bx) + C_2 \sin(bx)]$}}$

mit

\begin{displaymath}
a= -\frac{a_1}{2}
\quad{und}\quad
b = \sqrt{\left\vert \frac{a_1^2}{4} - a_2 \right\vert}\end{displaymath}



BEISPIEL
$y'' + y' + y = 0$


charakteristische Gleichung:

\begin{displaymath}
\lambda^2 + \lambda + 1 = 0
 \quad\Rightarrow\quad
 \lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i
 \end{displaymath}

\begin{displaymath}
\mbox{Realteil: } a= -\frac{1}{2}
 \quad
 \mbox{Imaginärteil: } b= \frac{\sqrt{3}}{2}
 \end{displaymath}

allgemeine Lösung:

\begin{displaymath}
y(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [C_1 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + C_2 \sin
 \frac{\sqrt{3}}{2} x]
 \end{displaymath}



Oszillierende Lösungen der homogenen linearen DG:


\begin{figure}
\begin{tabular}
{cc}
\hbox{\epsfxsize=3.9cm \epsfbox{figures/DG_2...
 ..._2.eps}}}\\ \multicolumn{2}{c}{$\mbox{Re }\lambda = 0$}\end{tabular}\end{figure}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung