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Der allgemeine Fall  

$$\begin{array} {rl} \mbox{Max/Min} & f(x_1,\ldots,x_n) \\ [1... ...box[5em]{\dotfill} \\ & g_k(x_1,\ldots,x_n) = c_k \end{array}$$

(1)

Aufstellen der Lagrange-Funktion $L$.

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \begin{array} {l} L(x_1,\ldots,x_n;\lambda_1,\ld... ...dots,x_n)+\sum_{i=1}^k \lambda_i\,(c_i - g_i(x_1,\ldots,x_n)) \end{array} $}}$

(2)

Berechnung die ersten partiellen Ableitungen von $L$.

(3)

Setzen alle ersten partiellen Ableitungen gleich Null und lösen das so entstandene Gleichungssystem mit $n+k$ Unbekannten in $n+k$ Gleichungen.

(4)

die ersten $n$ Komponenten $(x_1,\ldots,x_n)$ sind die Koordinaten der gesuchten stationäre Punkte.

BEISPIEL
Wir suchen die stationären Punkte von

$$f(x_1,x_2,x_3) = (x_1-1)^2 + (x_2-2)^2 + 2\,x_3^2$$

unter den Nebenbedingungen

$$x_1 +2\,x_2 = 2\quad\mbox{und}\quad x_2 - x_3 = 3$$

Die Lagrange-Funktion lautet:

$L(x_1,x_2,x_3;\lambda_1,\lambda_2) = ((x_1-1)^2 + (x_2-2)^2 + 2\,x_3^2)$
${}+ \lambda_1\,(2-x_1-2\,x_2) + \lambda_2\,(3-x_2+x_3)$

Die stationären Punkte von $L$ erhalten wir durch Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen:

$$\begin{array} {rclcl} L_{x_1} &=& 2\,(x_1-1) -\lambda_1 &=&... ...2\,x_2 &=& 0\\ L_{\lambda_2} &=& 3-x_2+x_3 &=& 0 \end{array}$$

Dieses (lineare) Gleichungssystem hat die Lösung:

$x_1= -\frac{6}{7}$, $x_2=\frac{10}{7}$, $x_3=-\frac{11}{7}$; $\lambda_1=-\frac{26}{7}$, $\lambda_2=\frac{44}{7}$.

Der einzige stationäre Punkt von $f$ unter den Nebenbedingungen ist somit $\quad\mathsfbf{x}_0 = (-\frac{6}{7},\frac{10}{7},-\frac{11}{7})$.