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Das totale Differential  



Wir wollen eine Funktion $f$ durch eine lineare Funktion so approximieren, daß der Fehler möglichst klein ist. Den Funktionswert an einer Stelle $\mathsfbf{x}+\mathsfbf{h}$ können wir näherungsweise analog zur Richtungsableitung berechnen.

\begin{displaymath}
f(\mathsfbf{x}+\mathsfbf{h}) - f(\mathsfbf{x})
\approx f_{x_1}(\mathsfbf{x})\,h_1 + \ldots + f_{x_n}(\mathsfbf{x})\,h_n\end{displaymath}

Das totale Differential erhalten wir, wenn wir die $h_i$ durch ,,unendlich kleine`` Differentiale ersetzen.



DEFINITION (TOTALES DIFFERENTIAL)
Die lineare Funktion


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle df = f_{x_1}(\mathsfbf{x})\,dx_1 + \ldots + f_{x_n}(\mathsfbf{x})\,dx_n$}}$

heißt das   totale Differential von $f$ an der Stelle $\mathsfbf{x}$.



BEISPIEL
Wir suchen das totale Differential von

\begin{displaymath}
f(x_1,x_2)=x_1^2+3\,x_1\,x_2
 \end{displaymath}

an der Stelle $\mathsfbf{x}=(3,2)$.

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 df &=& f_{x_1}(3,2)\,dx_1 + f_{x_2}(3,2)\,dx_2\\  &=& 12\,dx_1 + 9\,dx_2
 \end{array}\end{displaymath}


Wir berechnen nun $f(3{,}1;1{,}8)$ mit Hilfe des totalen Differentials an der Stelle $(3;2)$.

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 f(3{,}1;1{,}8)&\approx& f(3;2)+df\\  &=&27+ 12\cdot 0{,}1 + 9\cdot (-0{,}2)\\  &=&26,40
 \end{array}\end{displaymath}

(Der exakte Wert ist $f(3{,}1;1{,}8)=26{,}35$.)


$\mathsfbf{h}=(\mathsfbf{x} + \mathsfbf{h}) - \mathsfbf{x} =
 \pmatrix{ 3{,}1\cr 1{,}8 } -
 \pmatrix{ 3\cr 2 } =
 \pmatrix{ 0{,}1\cr -0{,}2 }$


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung