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Was ist ein Integral  

Wir suchen eine Funktion, die uns den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der $x$-Achse innerhalb eines Intervalls wiedergibt. Die Fläche unterhalb der $x$-Achse wird dabei negativ gezählt. Diese Funktion heißt das  Integral

\begin{displaymath}
\int\limits_a^b f(x)\mbox{dx}\end{displaymath}

der Funktion $f$.




Berechnung durch Approximation von $f$ durch Treppenfunktionen:

\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1mm}
 
\begin{picture}
(100,80)
 \put(0,...
 ...
 \shade\path(75,61.42)(85,61.42)(85,5)(75,5)(75,61.42)\end{picture}\end{figure}



Einfacher für stetige Funktionen
( Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung):


Sei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$,dann gilt für das Integral


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \int_a^b f(x) \mbox{dx} = F(x) \biggr\vert _a^b = F(b)-F(a)$}}$



BEISPIEL
Wir suchen das Integral der Funktion $f(x)=x^2$ im Intervall $[\,0,1\,]$.

\begin{displaymath}
\int_0^1 x^2 \,\mbox{dx} = 
 \left.\frac{1}{3}\,x^3\right\ve...
 ...1=
 \frac{1}{3}\cdot 1^3 - \frac{1}{3}\cdot 0^3=
 \frac{1}{3}
 \end{displaymath}



Erklärung des Hauptsatzes:

Wir bezeichnen mit $A(x)$ die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der $x$-Achse zwischen 0 und $x$.

\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1.2mm}
 
\begin{picture}
(100,80)

\line...
 ...l]{\footnotesize $M_h=\max\limits_{t\in[x,x+h]} f(t)$}}\end{picture}\end{figure}

\begin{displaymath}
m_h\cdot h\leq A(x+h)-A(x)\leq M_h\cdot h\end{displaymath}

\begin{displaymath}
m_h \leq \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \leq M_h\end{displaymath}

Grenzübergang $h\to 0$:($\lim\limits_{h\to 0} m_h=f(x)$)

\begin{displaymath}
f(x)\leq \underbrace{\lim_{h\to 0}
 \frac{A(x+h)-A(x)}{h}}_{=A'(x)} \leq f(x)\end{displaymath}

\begin{displaymath}
A'(x)=f(x)\end{displaymath}

d.h. $A(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$.


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung